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風控 · 部位管理

Kelly 公式 + 部位大小完整解析
為什麼大多用「半 Kelly」

2026-06-03·12 分鐘閱讀·中階

1956 年，貝爾實驗室科學家 J.L. Kelly Jr. 發表一篇論文〈A New Interpretation of Information Rate〉， 試圖解決一個賭場問題：當你有資訊優勢時，每次該下注多少比例的本金，才能讓長期財富最大化？

這個公式後來被 21 點數牌大師 Edward Thorp 帶進金融市場， 成為 Princeton-Newport Partners（華爾街第一個量化基金）的核心。 本文講原理、為什麼業界用「半 Kelly」、Thorp 的傳奇故事， 以及怎麼在 Pine 實作。

1. Kelly 公式原始版（賭博情境）

給定：

  • p = 勝率（贏的機率）
  • b = 賠率（贏的時候，1 元能賺幾元）

Kelly 比例：

text
f* = p - (1 - p) / b

(其中 f* 是「該下注本金的比例」，介於 0-1)

具體例子

擲一枚有偏的硬幣：頭朝上 60%、字朝上 40%。 猜對贏 1 元、猜錯虧 1 元。p=0.6、b=1。

text
f* = 0.6 - 0.4 / 1 = 0.2

→ 每次下注「20% 的當前本金」

意思：你有 $100，第一次下注 $20。 贏了變 $120 → 下次下 $24（20% × 120）。 輸了變 $80 → 下次下 $16（20% × 80）。 這套規則最大化「長期幾何平均報酬」。

為什麼 Kelly 是最優的
數學上證明過：在「重複下注 + 可以複利」情境， Kelly 公式最大化 E[log(wealth)]。 也就是長期財富的成長率最高。 這不是「賺最多錢」（那是 all-in），是「不會破產 + 長期最快增值」。

2. Kelly 在交易應用版本

交易不是「贏 1 元 / 輸 1 元」這麼簡單。Kelly 公式有交易版本：

離散版（適合明確進出場的策略）

text
f* = (p × b - q) / b

其中：
  p = 勝率
  q = 1 - p（敗率）
  b = 平均賺賠比（average win / average loss）

具體例子

你的策略過去 100 筆：勝率 55%、平均賺 2%、平均虧 1%。 p=0.55、q=0.45、b=2。

text
f* = (0.55 × 2 - 0.45) / 2 = 0.325

→ 每筆交易承擔「總本金 32.5% 的風險」
32.5% 風險？這不是太大了嗎？
對，這正是 Kelly 真實的「問題」。 理論最優 = 實際不可承受。 想像連續 3 筆虧損：剩 67.5% × 67.5% × 67.5% = 30.8%。 帳戶縮 70%。
更糟的是：你估的 p、b 不可能準。 樣本越小估計誤差越大，Kelly 對估計誤差超敏感。

3. 為什麼業界用「半 Kelly」或「四分之一 Kelly」

這是業界共識：實際下注用 0.25 × f* 到 0.5 × f*。

原因有三：

原因 ①：估計誤差

你不是真的知道 p=55%、b=2。這是過去 100 筆估的。 真實 p 可能是 50% 或 60%，誤差幅度大。 Kelly 對誤差的敏感性 — 估錯 10% 可能變成 50% 風險。 用半 Kelly 給自己留安全邊際（margin of safety）。

原因 ②：心理承受度

全 Kelly 即使長期最優，路徑會很痛 — 最大回撤可能 50% 以上。 人類心理上連 30% drawdown 都會慌、開始違反系統。 半 Kelly 把 drawdown 砍一半，長期報酬只少 25%。

原因 ③：未來 ≠ 過去

策略的真實 edge 會隨市場變化衰減。 今年 p=55%，明年可能是 50%。 用半 Kelly 等於提前對沖未來 edge 衰減的風險。

不同 Kelly 倍數的數學對照
(假設 f* = 0.2，理論年化 50%)
全 Kelly：年化 50%、最大回撤 ~50%、破產風險低
半 Kelly：年化 37.5%、最大回撤 ~25%、破產風險極低
1/4 Kelly：年化 19%、最大回撤 ~12%、破產風險零
結論：用半 Kelly 換 50% 安全，CP 值最高。

4. Edward Thorp — Kelly 在金融的開山祖師

Edward Thorp（1932 年生）是 MIT 數學博士， 1962 年發表《Beat the Dealer》— 用機率論破解 21 點數牌策略， 成為賭場史上第一個用數學系統性贏錢的人。

他在加州賭場數牌賺了一陣子後（賭場開始禁他）， 1969 年創立 Princeton-Newport Partners， 被認為是華爾街第一個量化避險基金。

  • 1969-1988（19 年）：平均年化 19.1%（after fees）， 僅有 3 個月小幅度負報酬
  • Sharpe Ratio 約 1.4 — 19 年穩定
  • 策略主要：可轉債套利 + 統計套利，全部用 Kelly 控制部位
Thorp 的核心思想
「Don't be a hero. Use half-Kelly.」 Thorp 自己的部位永遠用半 Kelly，從不全 Kelly。 他 2017 年的回憶錄《A Man for All Markets》詳細記錄這套思維。 書中也提到：他幫 Warren Buffett 早期合夥人 Bill Gross推廣 Kelly 思維。

5. William Poundstone《Fortune's Formula》要點

這本 2005 年出的書詳細記錄了 Kelly 公式從貝爾實驗室到華爾街的歷史。 重點：

  • Kelly 公式跟 Shannon 資訊理論密切相關（Kelly 是 Shannon 的同事）
  • Thorp 用 Kelly + 數牌打敗賭場
  • Long-Term Capital Management（LTCM）1998 年崩盤的核心原因之一： 用了超過 Kelly 的槓桿
  • 學術派 Eugene Fama（效率市場理論）跟實踐派 Thorp 的長期分歧

6. Pine Script 實作：Kelly 動態部位

以下範例會：① 算過去 100 筆勝率/賺賠比、② 算 Kelly 比例、③ 用半 Kelly 動態調整下單量。

pine
//@version=5
strategy("Kelly 動態部位（簡化版）", overlay=true,
  initial_capital=10000, default_qty_type=strategy.percent_of_equity)

// === 你的進出場訊號（這裡用 RSI 作範例）===
rsi = ta.rsi(close, 14)
longSignal = ta.crossover(rsi, 30)
exitSignal = ta.crossunder(rsi, 70)

// === 計算策略歷史表現（過去 100 筆） ===
lookback = input.int(100, "回看筆數")
wins = ta.cum(strategy.netprofit > strategy.netprofit[1] ? 1 : 0)
losses = ta.cum(strategy.netprofit < strategy.netprofit[1] ? 1 : 0)
trades = wins + losses

p = trades > 0 ? wins / trades : 0.5
avgWin = ta.cum(strategy.netprofit > strategy.netprofit[1]
  ? (strategy.netprofit - strategy.netprofit[1]) : 0) / math.max(wins, 1)
avgLoss = ta.cum(strategy.netprofit < strategy.netprofit[1]
  ? math.abs(strategy.netprofit - strategy.netprofit[1]) : 0) / math.max(losses, 1)
b = avgLoss > 0 ? avgWin / avgLoss : 1.0

// === Kelly 比例 + 半 Kelly ===
kelly = math.max((p * b - (1 - p)) / b, 0)
halfKelly = kelly * 0.5
positionPct = math.min(halfKelly * 100, 10)  // 最多 10% 部位

if (longSignal and trades >= 30)  // 樣本足夠才用 Kelly
    strategy.entry("Long", strategy.long, qty_percent=positionPct)

if (exitSignal)
    strategy.close("Long")

plotchar(positionPct, "Position %", "•", location=location.bottom)
實盤注意
① 樣本量 < 30 筆別用 Kelly，估計誤差太大
② 用半 Kelly 而非全 Kelly
③ 設絕對上限（例如 10%），不讓 Kelly 失控
④ 連續虧損時 Kelly 會自動縮，這是設計如此（保護你）

7. Kelly 不能用的情境

❌ 樣本太少

少於 30 筆完整交易，估計的 p、b 誤差太大。Kelly 算出來會極端。 用固定百分比（例如 1-2%）先跑到累積足夠樣本。

❌ 報酬分布不對稱

有些策略是「小贏小贏小贏 + 大虧」（賣 OTM put 那種）。 Kelly 在這種「肥尾」情境會嚴重低估風險。 要用調整版的 Kelly（考慮高階動差），或乾脆別用。

❌ 多個策略同時跑

你有 3 個策略各自 Kelly 算出 10%，加總 30%。 但這些策略可能相關性高（同方向同時錯）， 實際風險遠超 30%。要算 portfolio Kelly。

❌ 連續調整參數

每筆交易都重算 Kelly，會被短期回撤拖到部位變很小， 反而錯過反彈機會。建議用固定一段期間（月 / 季）重估。

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8. 散戶實用版：固定百分比 + 偶爾用 Kelly

對散戶，不要直接套 Kelly。建議：

  1. 每筆風險 1-2%：海龜法則的經典做法。 用 ATR 算出止損點，反推部位大小，讓每筆「最大可能虧損」固定 1-2% 帳戶
  2. 跑滿 100 筆後，算過去策略的 p、b， 再用半 Kelly檢查目前部位大不大
  3. 策略表現衰減就降部位。 最近 30 筆勝率掉到 40% → 直接砍部位一半
  4. 不同策略獨立 Kelly。 相關性低的多策略才能加總，相關性高的要算 portfolio

9. 三個關鍵 takeaway

  1. Kelly 是「長期最優」不是「短期最優」。 短期 drawdown 可能 50%，要心理承受得住才能用
  2. 用半 Kelly 換 50% 安全。 業界共識，Thorp 自己也這樣做
  3. 風控比策略本身重要。 一個普通策略 + 紀律的 Kelly，會贏過一個神策略 + 亂壓注
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